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Matemática 51

2024 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 2 - Funciones

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11. Hallar el vértice de la parábola que es el gráfico de la función $f$. Dar su imagen y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Graficar.
c) $f(x)=-(x-2)(x+5)$

Respuesta

Identifiquemos primero qué tipo de estructura de función cuadrática tenemos (polinómica, factorizada o canónica). Es factorizada:  $f(x) = a (x-x_1)(x-x_2)$, donde $x_1$ y $x_2$ son las raíces o ceros de la función.


De la fórmula podemos obtener las raíces, (siempre cambiándoles el signo que tienen en la función) fijate que:
Para $f(x)=-(x-2)(x+5)$  las raíces son $x_1=2$ y $x_2=-5$. Esto ya lo vimos en el video de funciones cuadráticas, así que si tenés dudas miralo ahí. 



El vértice de la función se encuentra en el punto $(Xv, Yv)$. Y en el video también vimos como calcular la coordenada $x_v$ cuando tenemos de dato las raíces o ceros de una función cuadrática de dato, como en este caso. Podemos calcularla con la fórmula $x_v=\frac{x_1+x_2}{2}$.

$x_v=\frac{2+(-5)}{2}$


$x_v=\frac{2-5}{2}$ 

$x_v=-\frac{3}{2}$  



Sustituyendo este valor en la función encontramos $y_v = f(-\frac{3}{2})$


$y_v = -(-\frac{3}{2}-2)(-\frac{3}{2}+5)$


$y_v = -(-\frac{7}{2})(\frac{7}{2})$


$y_v =\frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$


$y_v = \frac{49}{4}$


$V = (-\frac{3}{2}, \frac{49}{4}$)$



La imagen de la función depende del signo de $a$ y del valor de $y_v$. Como $a<0$ la imagen tendrá la forma $\text{Im}f = (-\infty, y_v]$.
$\text{Im}f = (-\infty, \frac{49}{4}]$


Los intervalos en los que la función es creciente y decreciente dependen del signo de $a$ y el valor de $x_v$. Como $a < 0$, estos intervalos serán $I\uparrow = (-\infty, x_v)$ e $I\downarrow = (x_v, +\infty)$.

$I\uparrow = (-\infty, -\frac{3}{2})$ 
$I\downarrow = (-\frac{3}{2}, +\infty)$



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camila
25 de septiembre 18:04
Tengo una duda, en la factorizada el valor de "a" no se cambia de signo,no? solo las raices. Y en canónica solo el "Xv"?  "a" e "yv" no se cambian?
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Santi
29 de septiembre 14:42
@camila Siempre hacé lo que diga la función porque no es que se cambia de signo, sino que reemplazas ese valor (con el signo que tenga) en la función. Si tenés que hacer la regla de los signos la haces y listo. 
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Santi
29 de septiembre 14:44
@camila O sea, pone los valores que tenes que reemplazas entre paréntesis. Yo lo hago asi y cero drama: 

a = -2, xv= -3, yv = 5, la factorizada me queda escrita asi:

f(x) = a . (x-xv)^2 + yv

f(x) = (-2) . (x-(-3))^2 + (5)

f(x) = -2 . (x + 3)^2 + 5
0 Responder
Abigail
3 de septiembre 22:45
Profe mi duda está en, cuando hay una factorizada, y hacemos por ejemplo el conjunto de ceros, hay veces que se les cambia el signo por la fórmula original, pero para sacar el Xv si o si se utiliza las raíces con el signo que le pertenecen sin la fórmula? O para sacar Xv se utiliza tal cual como tiene el signo en la factorizada?
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Julieta
PROFE
6 de septiembre 16:11
@Abigail Hola Abi, lo que a vos te importa es el valor de las raíces. Las raíces acá son $x_1 = 2$ y $x_2 = -5$. 

Todo lugar donde reemplaces las raíces las vas a usar así tal cual están. Por ej, si calculo con ellas la x del vértice me queda: 

$x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + (-5)}{2}$ pero ahora que las reemplacé, veo que puedo escribir la expresión más bonita si hago la regla de los signos, porque me queda +(-. Entonces me quedaría así:

$x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + (-5)}{2} = \frac{2 -5}{2} = -\frac{3}{2}$ 


Pasa lo mismo cuando reemplazás los valores de las raíces en la fórmula factorizada: 

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$

$f(x) = a(x - 2)(x - (-5))$

Ahora si mirás te queda -(-, entonces podrías reescribir la función de una forma más linda aplicando la regla de los signos y te quedaría así:

$f(x) = a(x - 2)(x + 5)$ Entonces, fijate cómo te quedó!! 

O sea, las raíces siempre son $x_1 = 2$ y $x_2 = -5$, pero ahora en la fórmula, en lugar de razonar que en realidad las raíces están afectadas por los signos de la fórmula directamente decís -> si saco las raíces de la forma factorizada directamente sé que las raíces van a ser exactamente el número que aparece después de la x pero con el signo cambiado.
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Camila
12 de mayo 18:16
profe a mi me paso lop mismo que a Fernando, me da uno positivo y el otro negativo ypor eso el resultado me queda en (-49/4)
0 Responder
Julieta
PROFE
15 de mayo 10:24
@Camila Hola Cami! Ahí lo arreglé :D
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Fernando
10 de mayo 0:34
Hola en Yv ¿por que (-3/2 +5) no da 7/2? y en el ejercicio está resuelto como - (-7/2 ). (-7/2). desde ya muchas gracias 
0 Responder
tao
11 de mayo 21:01
@Fernando yo noté lo mismo, capaz es una propiedad... pero creo que deberia ser uno positivo y el otro negativo
0 Responder
Julieta
PROFE
15 de mayo 10:25
Gracias Tao, ahí lo arreglé
0 Responder